El concepto de infinito me ha intrigado por al menos en los últimos tres lustros de mí vida. Cierto es que nunca había encarado una lucha frontal por entenderlo a cabalidad, quizá porque desde un principio intuí la dificultad que yacía en la finitud de esta palabra aunado a la poca claridad de los libros que en algún momento consulte.
Conocí la idea de infinito de la palabra de mis padres. Fue una noche copiosa de estrellas, a la edad de cuatro años que les pregunte una de las dudas más sutiles, mas en si misma hasta hoy incontestable; ¿Qué es el infinito?.
Conocí la historia del Hotel de Hilbert en el mes de enero de 2009 en la biblioteca Margarita Maza de Juárez del municipio del la ciudad de Oaxaca. La historia, que la leí de Simon Singh, me permitió entender que el infinito más uno sigue siendo infinito de la misma forma que el doble del infinito es infinito―idea que intuía años atrás ―, pero lo más asombroso fue descubrir la existencia de conjuntos infinitos mayores que otros conjuntos infinitos.
La historia del Hotel de Hilbert va más o menos así:
Erase una vez, en algún mágico lugar, que existió un hermoso hotel que tenía la peculiaridad de poseer un número infinito de habitaciones. Su recepcionista, de nombre David Hilbert, era un hombre encantador y risueño. Un día, al hotel llego un turista de tierras lejanas con el deseo de hospedarse en tan mítico hotel, sin embargo, para su mala fortuna el hotel se hallaba lleno. Hilbert que era un tipo afable, le pidió paciencia mientras se encargaba de solucionar tan curiosa situación. Hilbert le pidió a todos los huéspedes que se recorrieran a la habitación contigua una unidad mayor de la que actualmente estuvieran hospedados y con tal acción, el huésped de la habitación tres se recorría a la cuatro, el de la dos a la tres y el de la uno a la dos y así de desocupada la habitación marcada con el número uno que ahora alojaría al recién llegado huésped. Lo anterior denota que el infinito más uno sigue siendo infinito.
Tiempo después, llego al hotel un ómnibus con la característica de ser de dimensiones infinitas. Los pasajeros, que eran un número infinito deseaban hospedarse. Hilbert tuvo que pedirles paciencia mientras solucionaba el inconveniente de hallarles habitaciones dado que le hotel se encontraba lleno. Hilbert les pidió a todos los huéspedes que se recorrieran a la habitación marcada con el número doble de la que actualmente estuvieran hospedados. Con dicha acción el huésped de la habitación cuatro se hospedaba en la ocho, el de la habitación tres en la seis, el de la habitación dos en la cuatro y el de la uno en la dos, y así se desocupaban todas la habitaciones impares y, como los números impares son infinitos, Hilbert podía instalar a todos los nuevos infinitos huéspedes en el hotel. Lo anterior denota que el doble de infinito más uno sigue siendo infinito.
Simon Singh comenta lo siguiente:
El hotel de Hilbert parece insinuar que todo infinito es tan extenso como cualquier otro, porque varios infinitos caben a la vez en el mismo hotel infinito; la infinitud de los números pares puede ser igualada y comparada con la infinidad de todos los números cardinales. Sin embargo, unos infinitos son, en realidad, mayores que otros. Por ejemplo, todo intento de emparejar uno a uno cada número racional con otro irracional acaba en fracaso y, de hecho, se puede demostrar que la cantidad infinita de números irracionales es más extensa que la cantidad infinita de números racionales.
¡Vaya revelación de los conjuntos infinitos!
